Hva er Fermi Dirac Distribution? Energibånddiagram og tilnærming fra Boltzmann

Elektroner og hull spiller en viktig rolle i overføring av strøm i halvledere . Disse partiklene er ordnet på et annet energinivå i en halvleder. Bevegelsen av elektroner fra ett energinivå til et annet genererer strøm . Et elektron inne i metallet skal ha et energinivå som er minst større enn overflatebarrierenergien for å unnslippe til et høyere energinivå.

Det var mange teser som ble foreslått og akseptert for å forklare egenskapene og oppførselen til elektroner. Men noe oppførsel av elektron som uavhengigheten av utslippsstrømmen på temperatur osv. ... forble fortsatt et mysterium. Så en gjennombruddsstatistikk, Fermi Dirac Statistikk , publisert av Enrico Fermi og Paul Dirac i 1926 bidro til å løse disse oppgavene.

Fra da Fermi Dirac Distribusjon blir brukt for å forklare en stjernes sammenbrudd til en hvit dverg, for å forklare fri elektronutslipp fra metaller osv ...

Fermi Dirac Distribusjon

Før du går inn i Fermi Dirac Distribusjonsfunksjon la oss se på energien distribusjon av elektroner i forskjellige typer halvledere. Den maksimale energien til et fritt elektron kan ha i et materiale ved absolutt temperatur, dvs. ved 0k er kjent som Fermi energinivå. Verdien av Fermi-energi varierer for forskjellige materialer. Basert på energien elektronene har i en halvleder, er elektronene ordnet i tre energibånd - Ledningsbånd, Fermi energinivå, Valency-bånd.

Mens ledningsbånd inneholder eksiterte elektroner, inneholder valensbånd hull. Men hva betydde Fermi-nivået for? Fermi-nivå er energitilstanden som har sannsynligheten ½ for å bli okkupert av et elektron. Enkelt sagt er det det maksimale energinivået et elektron kan ha på 0k og sannsynligheten for å finne elektronet over dette nivået ved absolutt temperatur er 0. Ved absolutt null temperatur vil halvparten av Fermi-nivået fylles med elektroner.

I energibånddiagram over halvleder ligger Fermi-nivå midt i lednings- og valensbånd for en egen halvleder. For ytre halvleder ligger Fermi-nivå nær valensbånd i P-type halvleder og for Halvleder av N-type , den ligger nær ledningsbåndet.

Fermi energinivå er betegnet med ER_F, ledningsbåndet er betegnet som ER_C og valensbånd er betegnet som E_V.

Fermi nivå i N og P typer

Fermi-nivå i N- og P-halvledere

Fermi Dirac distribusjonsfunksjon

Sannsynligheten for at den tilgjengelige energitilstanden ‘E’ blir okkupert av et elektron ved absolutt temperatur T under forhold med termisk likevekt, er gitt av Fermi-Dirac-funksjonen. Fra kvantefysikk er Fermi-Dirac-distribusjonsuttrykket

Hvor k er Boltzmann-konstanten i ^ELLERTIL , T er temperaturen i ⁰TIL og ER_F er Fermi energinivå i eV.k = 1,38X10^{-2. 3}J / K

Fermi-nivået representerer energitilstanden med 50% sannsynlighet for å bli fylt hvis det ikke eksisterer et forbudt bånd, dvs. E = E_F deretter f (E) = 1/2 for en hvilken som helst temperaturverdi.

Fermi-Dirac-distribusjon gir bare sannsynligheten for okkupasjon av staten på et gitt energinivå, men gir ingen informasjon om antall stater tilgjengelig på det energinivået.

Fermi Dirac Distribution and Energy Band Diagram

f (E) Vs (E-E_F) plott

Ovenstående plot viser oppførselen til Fermi-nivå i forskjellige temperaturområder T = 0⁰K, T = 300⁰K, T = 2500⁰TIL. På T = 0K , kurven har trinnlignende egenskaper.

På T = 0⁰TIL , kan det totale antall energinivåer okkupert av elektroner være kjent ved bruk av Fermi-Dirac-funksjonen.

For et gitt energinivå E> E_F blir det eksponensielle begrepet i Fermi-Dirac-funksjonen 0 og Hvilket betyr at sannsynligheten for å finne det okkuperte energinivået av energi større enn ER_F er null.

For et gitt energinivå ERF verdien som betyr at alle energinivåene med energi er mindre enn Fermi-nivå E_Fvil bli okkupert kl T = 0⁰TIL . Dette indikerer at Fermi-energinivået er den maksimale energien et elektron kan ha ved absolutt null temperatur.

For temperatur høyere enn absolutt temperatur og E = E_F , da uavhengig av verdien av temperaturen.

For temperatur høyere enn absolutt temperatur og ERF , så vil den eksponentielle være negativ. f (E) starter ved 0,5 og har en tendens til å øke mot 1 når E avtar.

For temperatur høyere enn absolutt temperatur og E> E_F vil den eksponentielle være positiv og øker med E. f (E) starter fra 0,5 og har en tendens til å avta mot 0 når E øker.

Fermi Dirac Distribusjon Boltzmann tilnærming

Maxwell-Boltzmann-distribusjon er den vanligste Fermi Dirac fordeling tilnærming .

Fermi-Dirac Distribusjon er gitt av

Av bruker Maxwell - Boltzmann tilnærming ligningen ovenfor er redusert til

Når forskjellen mellom transportørens energi og Fermi-nivå er stor sammenlignet med, kan begrepet 1 i nevneren neglisjeres. For anvendelse av Fermi-Dirac-distribusjon må elektronet følge Paulis eksklusive prinsipp, som er viktig ved høy doping. Men Maxwell-Boltzmann-distribusjon forsømmer dette prinsippet, og Maxwell-Boltzmann-tilnærmingen er derfor begrenset til lite dopede tilfeller.

Fermi Dirac og Bose-Einstein Statistikk

Fermi-Dirac-statistikk er grenen av kvantestatistikk som beskriver fordelingen av partikler i energitilstander som inneholder identiske partikler som adlyder Pauli-eksklusjonsprinsippet. Siden F-D-statistikk blir brukt på partikler med halvtallssnurr, kalles disse fermioner.

Et system som består av termodynamisk ved likevekt og identiske partikler, i enkeltpartikkel-tilstand I, er gjennomsnittlig antall fermioner gitt av F-D-fordeling som

hvor er enkeltpartikkeltilstanden Jeg , er det totale kjemiske potensialet betegnet med, til_B er Boltzmann konstant mens T er den absolutte temperaturen.

Bose-Einstein-statistikk er det motsatte av F-D-statistikk. Dette påføres partikler med fullstendig spinn eller ikke spinn, kalt Bosons. Disse partiklene overholder ikke Pauli-utelukkelsesprinsippet, noe som betyr at den samme kvantekonfigurasjonen kan fylles med mer enn ett boson.

F-D-statistikk og Bore-Einstein-statistikk brukes når kvanteeffekten er viktig og partiklene ikke kan skilles fra.

Distribusjonsproblem Fermi Dirac

I et solidt sett, vurder energinivået som ligger 0,11 eV under Fermi-nivået. Finn sannsynligheten for at dette nivået ikke blir okkupert av elektronet?

Distribusjonsproblem Fermi Dirac

Dette handler om Fermi Dirac Distribusjon . Fra informasjonen ovenfor til slutt kan vi konkludere med at et systems makroskopiske egenskaper kan beregnes ved hjelp av en Fermi-Dirac-funksjon. Det brukes til å kjenne Fermi-energi ved både null og endelige temperaturtilfeller. La oss svare på et spørsmål uten beregninger, basert på vår forståelse av Fermi-Dirac-distribusjon. For et energinivå E, 0,25e.V under Fermi-nivået og temperaturen over absolutt temperatur, synker Fermi-fordelingskurven mot 0 eller øker mot 1?