Matematikk spiller en avgjørende rolle for å forstå oppførselen og arbeidet med elektrisk og elektroniske systemer . Polynomer, algebra, sannsynlighet, integrasjoner og differensiering osv ... utgjør en betydelig del av verktøyene som brukes til å løse systemene. Med den økende kompleksiteten i systemene kreves veldig sofistikerte metoder. Differensiallikninger brukes fremtredende for å definere kontrollsystemer. Disse ligningene er enkle å løse. Men kompleksitet oppstår når man løser høyere ordens differensialligninger. For å løse slike komplekse differensialligninger med høyere ordre, er den matematiske metoden som viste seg å være effektiv Laplace Transform . Siden denne transformasjonen er mye brukt, er det nyttig å vite hva de egentlig betydde for og hvordan de fungerer.

Hva er en Laplace Transform?

I matematikk brukes transformasjoner for å transformere en variabel fra en form til en annen for å gjøre ligningen enkel å håndtere. Laplace transforms gjør stort sett det samme. De omdanner høyere ordens differensialligning til en polynomform som er langt enkelt enn å løse differensialligning direkte.

Men det er forskjellige transformasjoner som Fourier-transform, z transformerer hva som gjør Laplace-transformasjonen spesiell? Den største fordelen med Laplace-transformasjon er at de er definert for både stabile og ustabile systemer, mens Fourier-transformasjoner bare er definert for stabile systemer.

Laplace Transform Formula

En Laplace-transformasjon av funksjon f (t) i et tidsdomene, hvor t er det reelle tallet større enn eller lik null, er gitt som F (s), der det s er det komplekse tallet i frekvensdomenet, dvs. s = σ + jω
Ovennevnte ligning anses som ensidig Laplace transform ligning . Når grensene utvides til hele den virkelige aksen, da Bilateral Laplace transform kan defineres som
I praktiske kretsløp som RC- og RL-kretser vanligvis brukes innledende forhold slik at ensidige Laplace-transformasjoner brukes til analyseformål.
Som s = σ + jω, når σ = 0 Laplace-transformasjoner oppfører seg som Fourier-transform.

“operasjonsforsterker høypassfilter ”

Laplace Transform Formler

Betingelser for anvendelse av Laplace Transform

Laplace-transformasjoner kalles integrerte transformasjoner, så det er nødvendige forhold for konvergens av disse transformasjonene.
dvs. f må være lokalt integrerbar for intervallet [0, ∞) og avhengig av om σ er positiv eller negativ, kan e ^ (- σt) forfall eller vokse. For bilaterale Laplace-transformasjoner i stedet for en enkelt verdi, integreres integralen over et bestemt verdiområde kjent som Region of Convergence.

Egenskaper ved Laplace Transform:

Lineæritet

Time Shifting

Skift i S-domene

Tidsreversering

Differensiering i S-domene

Konvolusjon i tid

Initial Value Theorem

Startverdisetningen brukes når i Laplace-transformasjonen er telleren mindre enn graden av nevneren Endelig verdisetning:

“forskjellige typer temperatursensorer ”

Hvis alle polene til sF (s) ligger i venstre halvdel av S-planets endelige verdisetning.

Invers Laplace Transform

På grunn av konvergens har Laplace-transform også en invers transformasjon. Laplace-transformasjoner viser en-til-en-kartlegging fra ett funksjonsrom til et annet. Formelen for Inverse Laplace-transform er

Hvordan beregne Laplace Transform?

Laplace-transform gjør ligningene enklere å håndtere. Når en høyere ordens differensialligning er gitt, påføres Laplace-transform på den som konverterer ligningen til en algebraisk ligning, og gjør det lettere å håndtere. Deretter beregner vi røttene ved å forenkle denne algebraiske ligningen. Nå er det funnet invers Laplace-transformasjon av enklere uttrykk som løser den oppgitte differensialligningen med høyere ordre.

Beregning av Laplace Transform

Anvendelser av Laplace Transform

Analyse av elektrisk og elektroniske kretser .
Å bryte ned komplekse differensialligninger i enklere polynomformer.
Laplace-transform gir informasjon om jevne så vel som forbigående tilstander.
I maskinlæring brukes Laplace-transformasjonen til å lage spådommer og lage analyser i data mining.
Laplace-transform forenkler beregninger i systemmodellering.

Påføring av Laplace Transform i signalbehandling

Laplace-transformasjoner er ofte valgt for signalbehandling. Sammen med Fourier-transformasjonen, ble Laplace transform brukes til å studere signaler i frekvensdomenet. Når det er små frekvenser i signalet i frekvensdomenet, kan man forvente at signalet blir jevnt i tidsdomenet. Filtrering av et signal gjøres vanligvis i frekvensdomenet som Laplace fungerer som et viktig verktøy for å konvertere et signal fra tidsdomene til frekvensdomene.

Påføring av Laplace Transform i kontrollsystemer

Kontrollsystemer er vanligvis designet for å kontrollere oppførselen til andre enheter. Eksempel av kontrollsystemer kan variere fra en enkel oppvarmingsregulator til et industrielt kontrollsystem som regulerer maskinens oppførsel.

Generelt bruker kontrollingeniører differensiallikninger for å beskrive oppførselen til forskjellige funksjonelle blokker med lukket sløyfe. Laplace-transform brukes her for å løse disse ligningene uten tap av viktig variabel informasjon.

Karakterisering av lineære tidsvariante systemer ved bruk av Laplace Transform

For et uformelt ROC-system tilknyttet systemet, er funksjonen det høyre halvplanet. Et system er anti-tilfeldig hvis impulsresponsen h (t) = 0 for t> 0.

Hvis ROC for systemfunksjonene H (s) inkluderer jω-aksen, vil L.T.I. systemet kalles et stabilt system. Hvis et tilfeldig system med rasjonelle systemfunksjoner H (s) har negative reelle deler for alle polene, er systemet stabilt.

Dermed er Laplace-transformasjon et viktig verktøy for å analysere kretser. Vi kan si som et stetoskop er til legen Laplace-transformasjoner er å kontrollere ingeniøren. Hva anser du Laplace-transformasjoner som? På hvilken måte var de nyttige for deg?